怎样学习抽象代数？抽象代数

本文目录

• 怎样学习抽象代数
• 抽象代数
• 【抽象代数】代数系统、群与商群
• 如何理解抽象代数的用途
• 如何自学抽象代数 怎么自学抽象代数
• 抽象代数简介
• 如何自学学会抽象代数
• 抽象代数简介及详细资料

怎样学习抽象代数

初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器是共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。这里我要提醒一下，Abel群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！初学者最好先别考虑非交换环，其中有很多诡异的东西，请看博文：除环上多项式的根很有趣啊.

抽象代数

域是一个可以在其上进行加法、减法、乘法和除法运算而结果不会超出域的集合。如整数集合不是（很明显，使用除法得到的分数或小数已超出整数集合。 如果域只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为pⁿ（p是素数、n是正整数），该有限域通常称为Galois域(Galois Fields)，记为GF(pⁿ)。 当n=1时，存在有限域GF（p），也称为素数域。在密码学中，最常用的域是阶为p的素数域GF(p)或GF(2^m)。（百度百科） homomorphism means a function between two groups that preserve the two group structure in each group. It is a tool to compare two groups for similarities. isomorphism = homomorphism + bijection iso(equal) morph(shape)

【抽象代数】代数系统、群与商群

我们已经知道 函数 的概念，它表示集合间的一种 映射关系 。当像和原像是同一集合时，便是抽象代数中常讨论的函数了。一元函数 f: A↦A 也被称为集合 A 上的 变换 ，其中双射的变换也称为 置换 。一般如下式的多元函数，也被称为集合A上的 n 元 运算 。集合 S 以及其上的一些运算 组成的系统叫 代数系统 （algebraic system），在不混淆的情况下也可用 S 表示这个代数系统。 代数系统 可以让我们抛开具体运算对象，而只关注于它们共有的 结构和性质 。 二元运算是最常见的运算，比如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统，参照的例子主要是来自 数论 和 置换变换 。对于这个二元代数系统， 我们用特定的符号 a∘b 来表示要研究的二元运算 f(a,b)，有时也简写为 ab ，并且说成是“乘法”，注意这里的乘法代表一种抽象的运算，即只要是有一种代数运算满足结合律就行，这个代数系统简单记为 ⟨ S, ∘ ⟩ 。如果还有另一个系统 ⟨ G,⋆ ⟩，我们怎么去判断它与上一个代数系统是否有关系呢。因为对抽象代数而言，其运算律的重要性。故我们只要求在两个代数系统之间在一个 一一映射下保持其运算律 就行。即它们之间有一一映射 f: S ↦ G ，并且满足下式，则这两个系统称为 同构的 （isomorphic），记作 S≅G 。显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全一样的，本质上可以不加区分。

从运算的外在形式上看，有两种比较重要的性质是需要研究的，一个就是运算的复合，另一个就是变量的位置互换。它们分别对应着结合律与交换律。运算的复合是指变量本身又是另一个运算的结果，比如 。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关，而与运算顺序无关。直观地讲，一串运算，无论如何添加括号限制运算顺序，结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为 半群 ，但是半群的性质过于简单，还不能构成一个自成体系且有太多用处的代数结构，还需要添加一些性质或公理限制约束才行。

对于很多运算，运算结果是依赖于变量的顺序的，a ∘ b 与 b ∘ a 不一定相等，比如置换和矩阵乘法。反之，如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到，交换律在很多场合是不满足的，由此一般也不假定它成立。交换律使得变量顺序不再重要，它和结合律共同作用的结果就是，运算结果仅与变量有关，它们的顺序可以随意安排。

前面讨论的是运算本身的外在形式特点，它们还构成不了十分有趣的代数系统，现在需要对系统的结构作进一步的限制或公理化描述。正如前面描述的代数结构，即一个抽象集合和代数运算。而我们通过函数或映射的观点来看的代数运算。故一个最为基本的映射就是集合之上的 恒等映射 。而从运算的角度来看就是我们的单位元。即任何一个元素与它复合作用都是该元素本身。如果我们想我们的代数系统可以更加完善和灵活就必须要求有它。这是通过公理化的约束条件赋予给代数系统的。但上面也谈到了对于一个代数系统来说不一定具有交换律。故就存在着左单位元与右单位元。我们可以有 ，它们是相等的！这种情况则统称为 单位元 （identity）（显然唯一），而含有单位元的半群叫 幺半群 。

单位元实现了我们一个朴素的目标：任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求，就是式（6）的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求，因为一次方程都没有解的话，这个系统是很难玩得转的。如果要求 有解，比较直观的方法是要求两边可以“除以”a，或“乘以”a的逆 ，得到 。换句话说就是要求存在逆，分别使得式（7）成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。

如果左（右）逆元同时存在，则 ，它们是又是相等的，这时统称为 逆元 （inverse）（显然唯一）。根据式（8）可知a同时也是 的逆元，并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子（9）的性质。

逆元的存在使得“除法”成为可能，它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是，当 依次遍历群时， （或 ）会遍历整个群，即相当于同时对群内的所有元素作了一个乘 a 的映射变换。如果作用后有任意两个新元素相同，即 ，那么两边乘以 ，则有 。这个性质又叫 消去律 ，便会推出矛盾。如果把整个运算列成一张二维矩阵的表，行列都是集合 S 中的元素经过相同复合作用，则矩阵的每行和每列都包含整个群，且没有重复元素。这个性质非常重要，我们后面还会用到它，注意这里与后面要讲的陪集的概念是不同的，陪集作用的是子群，而不是群元素本身。

存在逆元的幺半群叫群，于是我们的主角就这样登场了。 总结一下 ，集齐 结合律、单位元 和 逆元 这三大基本性质的 代数系统(集合 + 代数运算) 就是 群 ，这里我们也可以用另一种视角去看待它，即满足上述五条公理化要求的数学结构就称为群。一般用字母 表示。而对于后面要介绍的代数系统，我们都可以用公理化的视角去看待。如果除此之外还满足交换律，它就叫 交换群 （commutative group）（或 Abel 群（Abelian group））。集合的元素个数 称为群的 阶 （order），显然有有限群和无限群。有了上述性质，尤其是逆元的存在，群便有了非常有趣的结构，后面会慢慢展开介绍。

值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些 冗余的 ，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元（或右单位元和右逆元）。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意a，存在 ，求证 的存在性。首先记 ，则有 ，从而 。这样 同时还是右单位元，由前面的讨论知它就是单位元e。那么再由刚才的 可知 还是右逆元，故有逆元 。

还有一点需要注意，方程（6）有解和消去律与逆之间是否有等价关系？其实是不一定的，在某些情况还是等价的，大家可以尝试着思考如下两个问题。 　　• 满足方程（6）都有解的半群是群；（提示：证明单位元和逆存在） 　　• 同时满足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上题结论）

群的例子非常普遍，比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换，以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法，都容易证明它们是群。还有一些著名的群，它们元素个数很少，但结构却不简单，应用也很广泛。比如著名的 四元数群 ，它满足下表的运算律，它们就是四元数的单位元，是比复数更一般的数系。

还有就是以下 四元群 ，本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子，你可以先品味一下它们的特点，并带入后续的讨论中。

在给定了群的公理化定义之后，下面的任务就是要研究它的结构，从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是 分解 ，将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象，结构自然就清楚了。同样道理，我们也希望将 群拆解为结构更简单的小群 ，这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义，它首先必然是群的 子集 ，并且在 同样的运算 下能独立成 群 ，这样的子集被称为 子群 （subgroup）。

若H是G的子群，一般记作 ，显然 和 G 都是 G 的子群，它们也叫平凡子群。如果 ，H叫做G的真子群（proper subgroup），记作H《G。由于子群完全继承了父群运算，因此必定满足结合律，并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺，该有的元素（单位元和逆元）都要有，运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式，才能给出子群的 严格定义 。对于G的一个非空子集 H，如果满足式子（10）中的条件，它就是 G 的子群。另外容易证明，这三个条件其实和式子（11）的条件是等价的，它一般被用作子群的判定条件。

如果子集 M 不满足子群的条件怎么办？你当然可以把需要的元素一个个补齐，最终满足条件的子群就叫的 生成子群 ，记作 ⟨M⟩。当然，你可以给出生成子群的精确定义：包含 集合 M 的最小子群，也称由集合 M 诱导的生成子群。只有一个元素 a 生成的子群又叫 循环群 ⟨a⟩（cyclic group），a 叫做它的 生成元 （generator）。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群，并且循环群显然是交换群。

虽然定义了子群，但分解群的任务还很重，这里我们暂且休息一下，从最简单的循环群研究起。循环群是一类被完全解决了的群。也就是说这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下它由多少个和它们子群的状况都研究清楚了的群。一个循环群中无非是这样的元素： 。类似数系中的幂运算，我们可以引入指数记号 表示循环群中的每一个元素，你可以证明它完全满足指数的常规性质（公式（12）（13））。

在任何群中，如果有最小 的使得 ，那么称n为a的 阶 （order），记作 |a|。如果不存在这样的 n，则称 a 的阶为无穷大，也记作 |a|。阶的性质和我们之前介绍的在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样。

在循环群 ⟨a⟩ 中，如果 ，则显然它和有原根的既约剩余系同构： ，并且有 个生成元。当 a 的阶为无穷大时，它和整数加法群同构： ，其中只有 两个生成元。下面有一些阶和子群的思考题，难度不大，可供读者消遣思考一下： 　　　 　　• 有限子集 H 是子群的充要条件是：对任何 ，总有 ； 　　• 求证： ， ， ； 　　• 求证：有限群中阶数大于2的元素有偶数个； 　　• 如果 ，求证 。

说完了最简单的群，现在来看最“ 完整 ”的群。置换群是一类很重要的群，最早的群论就是从研究它开始的，利用它，伽罗瓦解决了代数方程是否可用根式求解问题，后面在伽罗瓦的工作基础之上慢慢发展到了今天代数学中专门的理论——即 伽罗瓦理论 。前面我们看到群 G 中的任何元素 a 使得 遍历整个群，因为复合运算是和函数和映射是等同的，故我们可以从 看出 a 是和 G 上的一个 双射变换 相对应。而容易证明，集合 G 上的所有双射变换 组成一个群，并且 G 是 S(G) 的子群。一般地，集合 M 上的所有双射变换组成的群S(M)，也可以看成集合 G 的排列是任何从G到G的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群S(M)叫 M 上的 对称群 （symmetric group）。当 时，又可记作 ，叫 n 次对称群。显然每个n 阶群都同构于 的某个真子群，而阶为无穷的群也同构于 的某个真子群（ 凯莱定理 ）。即所有群 G 同构于在集合G上的对称群的子群。这可以被理解为G在集合G的元素上的群作用的一个例子。关于群在集合上的作用后面会讲到。凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(R,+)）都当作某个底层集合的排列群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对排列群成立的定理对于一般群也成立。

这样一来，我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫 置换群 （permutation group）（因为元素是置换）， 的子群叫 n 次置换群，这里我们只讨论 n 次置换群。将集合中元素用 编号，每个置换 可以表示为下式，改变列的顺序并不改变定义。

考察置换中的映射序列： ，容易证明这个序列最终必定会回到 1，这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的，有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换，只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有 k 个元素，这样的置换就称为 k-循环置换 （或k-循环），特别地，2-循环也叫 对换 。循环置换可表示为下式，其中 它的阶显然为 k。

这样就可知，任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外，显然不相交循环的乘积是可交换的，故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循环可以分解为一系列对换的乘积（不可交换），故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射，如下当右向左的复合映射。

至此就不能再分解了，我们不禁想问，如果一个置换有不同的分解为对换的方法，那它们的对换个数有什么关系吗？现在需要一个固定的值将它们联系起来，这个值只能从置换 本身下手。对于数对 ，如果 ，则称 为一个反序。总反序数是固定的，定义有奇数个反序的置换为 奇置换 ，否则叫 偶置换 。你可以证明，任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来，这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。

奇偶性是置换的一个符号性质，它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值，可以将偶置换与奇置换一一配对，这样它们就 各占一半 。另外容易看出，所有偶置换的运算是封闭的(因为必须包含单位元，即恒等映射。奇置换不含单位元不构成群)，故它们能组成一个群，这个群叫做 n 次 交错群 （alternating group），记作 。如下有几个小思考题，仅供读者练习：

• 求证 ；

• 求证 和 都是Sn的生成系。

现在我们继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先我们便要讲陪集的概念。紧接着我们就能看到陪集就是用群内任意一个元素与原群的子集进行一个复合操作，左复合就是左陪集，反之为右陪集。

思路概览：

紧接着我们便要问： 我们为什么要这样做 ？使用一个元素去对子群进行作用得到一个新的概念——陪集 ，这里仅给出我个人的观点，正如前面已经讲到的，群代表着某种对称性。当给我们一个抽象群需要研究它时，我们直观就能意识到抛去具体细节，从形式上看就知道它代表着某种对称性。于是我们在深入研究它的内部结构的时候，不禁想问这个群里面是不是还包含着另外一个小的对称性，即子群的概念。于是紧接着这个子群与大群是否可以建立某种联系，参考前面将大群分解小群的概念。我们是否可以构造出一种分解的概念，于是我们面临着一个直接的问题，我们知道群元素其底层就是一个集合，在对应到集合的划分之后，我们可以直观的理解是将一个大的原集合划分成若干个小集合。

《font color=red》 问题来了，我们划分之后的小集合还是群吗 ？ 《/font》，首先我们应该明确：当我们研究一个东西的时候常常是从具体实际出发到理论抽象建模，然而当我们提出一个理论的时候确实从抽象出发，在衍生到所有的具体场景。因为抽象的是约束最少的情况，具体的是通过添加限制约束的情况。 抽象的适用面更广、更自由、更易于表达思想 。回到正题，我们便会很容易的想到对应于划分之后的小集合都能构成群便是一种具体的情况，而不满足这个强约束的是一般。于是我们就可以理解我们这里要提出的陪集的概念(一般情况)和后面要提到的直积概念(具体情况) 了。而至于我们为什么要用子群与元素的作用来作为陪集的概念，首先我们肯定不能用待研究的抽象群，因为通过前面的学习，我们知道任意一个元素与一个群本身左右得到的还是它本身，对我们来说没有任何新的有意义的结果或信息。而针对子群来说就不一样了，我们可以想象使用一个元素去作用子群，与我们量子力学或原子物理学中使用一个粒去去碰撞另一个待研究的粒子是一样的。使用一个元素去作用一个子群我们便有了一个划分。因为我们知道如果这个元素属于这个子群，由于封闭性得到的元素必定还是在群内，反之不在群内。便达到了我们分解大群的目的，虽然有些不完全，但在这种抽象一般情景下也只能这样做。如果结构性质良好，就可以使用直积的概念来分解了。

下面，进入到正题。首先根据子群的判定条件，如果 ，则很容易有 。那么 呢?当然这里 H, K 都是真子群，并且不互相包含。对于子群交的情况我们可以较容易的证明，而对于子群并其实大多数情况下都是不成立的。在比如如果我们想划分之后的子集都构成子群，我们就会问一个问题 ？ 即 是不是 G 的子集？对 ，如果总有有 ，容易证明该条件和 等价。所以就有下式结论。这样的分割需要子集满足一定条件，不符合我们现在的一般情况，需要另找方法。

现在看来，我们必须放弃将父群分解为若干个子群的想法，而只能以某个子群 H 为参考或划分单位。我们还希望分成的每一块和子群一样大，最好元素与H也有一一对应的关系。由此我们想到了考察集合 ，它表示 a 和 H 每个元素的乘积组成的集合，被称为 H 的左陪集（left coset），a 是左陪集的代表元。如果 ，显然 ，现在来研究 时， 之间的关系。

对任意 ，存在 ，则 ，也就是说以 的中任何元素为代表元的左陪集都与 完全重合。换句话说，所有左陪集要么完全相等，要么没有交集，每个元素都被划分到了一个左陪集中，且都能作为该左陪集的代表元。另一方面，对 ，有 ，容易证明 就是a,b同属于一个左陪集的充要条件，它是群元素之间的一个 等价关系 。如果用 表示子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，则有等式 称其为群 G 关于子群 H 的 左陪集分解 。而称 为 G 关于 H 的一个 左陪集代表系 。同理右陪集。应注意 H 本身就是 G 的一个左陪集，但 G 的任何别的左陪集由于没有单位元，当然都不是 G 的子群。

同样可以定义 右陪集 的概念，并有着和左陪集一样的结论，只不过同属于一个右陪集的条件要改成 。对于非交换群， 与 一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（H本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也许并不甘心，它们之间一定有别的方法能联系起来。考虑到左右陪集只是左右颠倒的，你很自然就可以想到逆运算，对任何 ，都有 。即 和 的元素是完全互逆的关系，这样左右陪集就找到了一一对应的关系。现在想来，左陪集 中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但却神奇地集中到了右陪集 里。

考虑所有左陪集 组成的集合，它的阶被称为子集 的 指数 （index），记为 ，那么显然有式（2）的 拉格朗日定理 成立。进一步地，如果 ，还容易有式（3）成立（注意对无穷的讨论）。并且可以直观地看出，K 的陪集其实就是在 H 陪集的基础上再以 K 为单位进行的划分。

现在再来看 的陪集与 陪集的关系，首先由刚才的结论知， 的陪集正好是 陪集的一个再次分割。从而 要么是空集，要么正好是某些 的陪集。进一步地，如果 ，则 ，即 最多只包含一个 的陪集。这样的话就容易有以下不等式。

最后来看子集 ，它显然由一些 K 的左陪集组成。另外考虑 H 中 的 个左陪集，考虑 ，它们属于同一 左陪集的充要条件是 。而该条件显然等价于 ，它又是 属于同一 K 的左陪集充要条件，故 中 K 的左陪集的个数就是 m。以上结论可以总结为式（5），显然只有当 时，才有| 。应该注意虽有下面式子，但 仍然不一定是子群。

现在群 G 被分成了 H 的陪集，H 当然有更细的划分方法，现在需要来研究它的陪集组成的集合。我们先不直接研究陪集，而是采用更一般性的方法。回顾陪集的定义，其实就是一个从群元素到陪集的映射，我们希望研究一般的代数系统之间的映射。考虑两个系统 之间的映射 ，我们当然希望运算律是保持的，满足以下条件的映射被称为同态映射（homomorphism）。如果映射是满的，则称 同态，记作 。

我们重点要关注的当然是同态映射像和原像的关系，即同态系统之间的关系。如果 ，其中 G为一个群，容易证明 满足群的所有条件（证明略），故 也是群。当然还可以得到更多结论，比如单位元映射到单位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，这里就不赘述了。反过来思考同态映射，它的每个像都有可能不止一个原像，G按照像的不同被划分成了不同的等价类，这些等价类有什么性质？它和 又有什么关系？

显然那些等价类与同态像是一一对应的，如果能定义好运算，它们自然就是同构的，现在的任务就是寻找这些等价类有意义的运算。先定义 的原像 为核（kernel），记作 。下面来看那些等价类是什么，对于 ，考察 。对任何 ， ，故 ，从而 是一个子群，且每个等价类是都是它的左陪集。你还可以发现，刚才的证明对右陪集同样成立，也就是说 的左右陪集是一样的！

既然陪集不分左右了，就可以为其定义 ，容易证明在该运算下，K 的陪集与 是同构的。我们需要专门研究像核这样的子群，即对子群 N，要求 恒成立。为此定义满足下式的子群为 正规子群 （normal subset），记作 ，如果 ，也记作 。刚才的结论可以说成，同态映射的核是正规子群，那么反过来呢？其实容易证明，对任意正规子群N，映射 就是同态的。故我们可以下结论：任何正规子群都与一个同态映射等价。

因为正规子群 N 的陪集与同态像一一对应，它们必然组成群，定义它为 商群 （quotient group），记作 ，从而有 。刚才的结论用符号表示就是下式，它被称为 同态基本定理 。

现在继续对正规子群作一些常规讨论。正规子群是 N 与 G 的关系，所以对任意 ，总有 ，但对 ，却不一定有 。交换群的子群显然都是正规子群。对非交换群 和 G 显然都的正规子群，但如果除了这两个平凡正规子群外没有其它正规子群，那么 G 叫 单群 （single group）。反之如果其所有子群都是正规子群，它也叫 哈密顿群 。比较容易证明，两个正规子群的交和积也必然是正规子群（公式（8）），但正规子群与子群的交和积却只能是普通的子群。

如下几个小小的关于正规子群的问题，仅供读者思考： 　　• 是 的正规子群， 是 的正规子群。如果已知 时， 都是单群，则 的非平凡正规子群只有 ； 　　• 且 ，若 都是交换群，求证 也是交换群； 　　• 是正规子群，则任何 也是正规子群；

同态基本定理给出了一种分析群的结构的方法，将群拆分为正规子群和商群，这里介绍著名的群的 同构定理 。第一同构定理其实就是同态基本定理，第三同构定理以正规子群N为单位元，得到更大正规子群的结构。将G换成HN就得到第二同构定理。 　　（1）第一同构定理： ； 　　（2）第二同构定理： ； 　　（3）第三同构定理： 。

之前讲了对称群，它的组成元素是集合的一一映射，现在来看它在群上的一个特殊子群。我们考虑群的所有 自同构变换 组成的集合，很容易证明它们组成群，称为 自同构群 （automorphism），并记作为 。容易证明无限循环群的自同构群是 2 阶循环群，而 n 阶循环群的自同构群是 阶群。如果你觉得自同构群不好构造，那你可以试试同构映射

如何理解抽象代数的用途

抽象代数又称近世代数（Modern algebra），产生于十九世纪。那么如何理解抽象代数的用途？ 1、 抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），产生于十九世纪。伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。 2、 抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。 3、 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯·诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。 4、 抽象代数包含有群（group）、环（ring）、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科 5、 中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。 6、 现代数学的基础课程正在更新。50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体。时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析。现代数学理论是由这三根支柱撑着的。 以上的就是关于如何理解抽象代数的用途内容介绍了。

如何自学抽象代数 怎么自学抽象代数

1、抽象代数（近世代数）不需要其他的基础知识（有线性代数或高等代数的知识更好），主要是研究群、环、域里面的性质。其中你只要主意一点，弄清楚符号所代表的东西，他们之间的运算、性质等，举个简单的例子：a是群里面的一个元素，它可以代表一个数（实数复数等）、可以代表一个矩阵（具有某种性质，如是对角的、可逆的，n阶的等）、可以代表一个映射，甚至可以代表一个集合（群、环、域），同时弄清楚他们的运算+或×代表什么运算，如果你能弄清楚这个，那么学起来就水到渠成了！ 2、学泛函分析要修几门课程（数学分析、高等代数、实变函数）这么课程对于非数学专业的来说就稍微困难一点，我不想啰嗦，就说几点：弄清楚赋范线性空间里面的范数，线性空间里面的元素，赋范线性空间的性质，这么课程不是很好学但很强大，你要做好心理准备！ 3、拓扑学（就简单说一下点集拓扑学），点集拓扑需要的修的课程是数学分析，最要有集合论里面的基础。点集拓扑主要是研究拓扑空间的不变性质，包括连通性、可数性公理、诸分离性公理、紧致性等，当然要弄清楚什么是拓扑空间，什么是拓扑空间的性质、结构！啰嗦一句：拓扑同样强大，但是也很难学！

抽象代数简介

在中学阶段就学习过集合，部分内容不再赘述。以下是交集、并集、差集的概念：

设 是一个集合，那么 的所有子集为成员构成的几何成为 是 幂集 ，记作 。

设 是两个集合，定义集合

称为 与 的 笛卡尔积 ，又称卡氏积，集合积。

集合 中元素个数称为集合 的 基数 ，记作 。如果 是无限的，则 ，称 是 无限集 ，否则是 有限集 。

集合中的元素相互之间可能有关系（也可能没有关系）。例如全校的学生构成一个集合，某些学生可能是同班同学，那么他们就有关系。 等价关系 ，类似于数集中的“等于”的关系，要求满足：

偏序关系 ，类似于数集中的“大于等于/小于等于”的关系，要求满足：

等价不一定是等于 例如一个学校的学生构成的集合，同班就是一种等价关系。甲乙同班，乙丙同班，那么甲丙同班…… 我们把和 都等价的元素构成的集合，称为 等价类 ：

以 的所有等价类构成的集合，称为 关于等价关系 的 商集 。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 半群 。

例如，正整数的集合 关于加法运算 是半群，客观上还满足交换律，是“加法半群”。

再如矩阵的乘法满足结合律，但是不满足交换律，所以固定阶数的矩阵也可以看作半群。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 幺半群 。这样特殊的元素 被称为“单位元”，记作 。

前文提到的 不是幺半群，因为它没有单位元。 而矩阵有单位矩阵，所以是幺半群。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 群 。这里提及的 关于 是唯一的，称其为 逆元 ，记作 。即 。

例如，整数集 关于加法运算 是群，客观上还满足交换律，是“加法群”。 群如果满足交换律，就称为 交换群 ，又称 Abel 群 （阿贝尔群），又称 加群 。

例如，所有的 阶可逆复矩阵构成的集合是一个群，可以称为“n级一般线性群”。

映射在中学阶段已经接触过，此处不表。 若矩阵 自己到自己的映射，称为 的 变换 。用 来记集合 所有变换的集合。 来记集合 所有 可逆 变换的集合。

设 是群， 是从群 到群 的映射，如果这一映射满足

则把这一映射称为 同态 。

如果 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是 同构 。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 环 。

在环的基础上，有乘法单位元 ，称为“幺环”。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 幺环 。

在环的基础上，有乘法的交换律，称为“交换环”。

定义：设 是一个非空集合，满足

那么称 为一个 交换环 。

例子

设 是环， 是从环 到环 的映射，如果这一映射满足

则把这一映射称为 同态 。

如果 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是 同构 。

如果 均为幺环，在同态的基础上，满足 ，则称为 幺同态 。

设 是环， 是它的一个非空子环，满足

则把 称为 的 理想 。

一个非零环 至少有两个理想 和 自身，分别称为 零理想 和 单位理想 ，二者合称 平凡理想 。

对于环 的非零元 ，如果存在另一个非零元 ，使得 ，则称 为左零因子。类似地可以定义右零因子。 在交换环中，零因子没有左右之分。

没有零因子的环，称为 整环 。

整环是交换的，满足消去律的环。

如果 可逆，有唯一的逆元 与之对应。

记 为环 的所有可逆元的集合，这个集合是一个群。

如果一个环 的非零元都可逆，即 ，那么称 为 除环 。

交换的除环称为 域 。

在中学数学中，接触过的有理数集合 、实数集合 和复数集合 都是域。 再例如集合 也是域，它是 的非空子域。

前文提及用 基数 描述集合中元素的个数。但是当集合中元素有无穷多的时候，就有些无能为力。

定义：若集合 和 之间能够建立一个双射，则称这两个集合 对等 ，记为 。

集合之间的对等关系是一种等价关系，满足自反律、传递律、对称律。

和自然数集合 对等的集合称为 可数无穷集 ，简称 可数集 。它需要存在一个和 一一对应的双射。

不和自然数集合 对等的无穷极和，称为 不可数无穷集 ，简称 不可数集 。

整数集合 是一个可数集，把整数如下排列：

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 。

偶数集合、完全平方数集合等，都是可数集。

有理数集合 是一个可数集，把有理数如下排列：

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 。

平面直角坐标系中，自然数点集 是一个可数集，类似于有理数集合的证法。

代数数集合也是一个可数集。实数集合是 不 可数集合。

和自然数集合 对等的集合是可数集。

类似地，和实数集 对等的集合是连续统。

如何自学学会抽象代数

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抽象代数简介及详细资料

基本简介

抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。

“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。

在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。

具体定义

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

其它称号

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支。

创始人

被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

1843年，Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Gras *** ann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。

1870年，Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。

奠基人

有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函式域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在哥廷根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的《《整环的理想理论》》是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。1926年发表《《代数数域及代数函式域的理想理论的抽象构造》》，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的bool代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。

发展历史

​被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

1920~1927年 间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。建立了交换诺特环理论，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。

1927－1935年 ，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。

诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著《《近世代数学》》得到广泛的传播。她的主要论文收在《《诺特全集》》(1982)中。

1930年 ，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。